多变量微积分笔记1——直线与曲线之参数方程

嗬是参数方程

  一般地,在面直角坐标系中,如果曲线上肆意一点底坐标x、y都是某某变数t的函数:

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  并且于t的各国一个兴的取值,由方程组确定的点(x,
y)都以马上长长的曲线上,那么这个方程就叫曲线之参数方程,联系变数x、y的变数t叫做参变数,简称参数。相对而言,直接为来点坐标中关系的方程叫普通方程。

  例如当运动学,参数通常是“时间”,而方程的结果是快、位置等。用参数方程描述运动规律时,常常比较用一般方程更为直白便捷。对于缓解要最好要命射程、最可怜惊人、飞行时间要轨道等一样多级题材都比理想。有些要而较复杂的曲线(例如摆线),建立它们的便方程比较紧,甚至无容许,有了参数方程,就足以非常易表达。

直线

空中被的直线

  空间中少单面的插花是均等条直线,如果摒弃开平面,直线可看做是接触匀速直线运动的轨迹。

  通过简单触及确定一长条直线,此外,已解一点及同直线平行的向量也能够确定一漫漫直线。

直线的参数方程

  一个碰当空中中匀速直线运动,它在t =
0和t = 1时时经过Q0 = (-1, 2, 2)和Q1 = (1, 3,
-1)两接触,Q(t)是该点关于时间t的函数:

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  如达到图所示,点当t =
0时刻的职Q0 = Q(0) = (-1, 2, 2),t =
1整日的职务Q1 = Q(1) = (1, 3,
-1),那么以任意t时刻,Q的职Q(t)是哪里?

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  现在用问题易为向量:

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  由于是匀速运动,所以运动距离和工夫成正比:

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  随着时空之滋长,向量也拿增长。由于Q(t)是空间内之触发,所以:

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  这即是欠直线的参数方程,其源是Q0Q(t)
= tQ0Q1

  如果t = 2,则以拖欠时刻Q(2) = (3, 5,
-4)

直线与平面的关联

  上面的蝇头独点Q0 = (-1, 2,
2)和Q1 = (1, 3, -1)对于平面x + 2y + 4z =
7来说,位置关系是呀?在面的两侧还是一侧?是否当面及?

  将Q0和Q1代表入平面方程:

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  由此可见Q0和Q1无以面及,它们分属于面两侧,向量Q0Q1将穿越平面,与平面有唯一的交点,这个交点又是啊?

  上节已求得了直线的参数方程Q(t) =
(2t-1, t+2, -3t+2),直线与平面的交点将满足:

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  将直线参数方程代入平面方程也或出现有为数不少脱或无解的状,此时直线与平面没有唯一交点,直线或以面及或者和平面平行。

  总结一下,把直线方程Q(t) = (x(t),
y(t), z(t))代入平面方程ax + by + c =
d,如果能够计算出t的唯一值,直线穿过平面;如果博一个等于d的常数,则直线在面及;如果获得一个免等于d的常数,则直线与平面平行。

曲线

  对于平面或空中内之任性运动,同样可为此参数方程表示。

摆线的参数方程

  摆线是一致种植有名的曲线,它描述了当车子匀速直线运动时,车轮上点的运动轨迹。如下图所示,P是半径为a的轮边缘上之某些,刚开时以原点,当轮子为右侧滚动后,P点将随之转动:

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  我们关心之题目是轮子滚动后P的轨道,也便是t时刻P点的职。如果P点是岗位关于时间的函数,用参数方程可以代表为Q(t)
= (x(t),
y(t))。这表示从岁月之角度来表示位置,然而时光毫无最好之参变量,因为P的轨迹是暨时无关的,即使车速变快,P的走轨迹也非见面变动。我们注意到,当轮子匀速运动时,P的角度以及时变为正比: 

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  ∠θ和倒时间成正比,如果θ超过2π,则一定给始了一个新的周期,对于角度的演算,3π暨π是千篇一律之。由此,可以以时刻替换为角度,也便是运车轮转动角度做参变量将抱更简约的答案:

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  将车轮转换为上图所展示之向量(向量可参照《线性代数笔记2——向量(向量简介)》),则向量OP的参数方程就可以象征P点的运动轨迹。

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  由于车轮是顺着地面转,且极初P的职务与O相同,所以在首先环抱时,OA
= PA的弧长(我肯定于美术时比随意,看起它并无抵):

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  实际上,无论第几缠,上式都建立。由于已经亮了OA和AB的长度,可以汲取相应的向量:

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  现在只有待要求来向量BP即可。这里并不需要知道点B和点P的坐标,由于向量只描述了大小和自由化,所以向量和具体位置无关,因此得以通过将向量BP走求得BP

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  最终:

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摆线的斜率

  以轮滚动一圈后,点P回到x轴,开始上下一个周期,两单周期相交于某些。有一个值得关注的题材是,如果当拖欠点处作轨迹www.27111.com曲线之切线,切线的斜率是呀?如下图所展示,就是计算P5远在轨迹曲线之切线:

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  为了简化问题,将当轮子看作单位到,此时a =
1,

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  在P5处,θ=2π,斜率:

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  这没意思,但好算极限:

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  因此,在P5远在,斜率趋近于∞,也便是生同一条垂直于x轴的切线。

  也得使泰勒展开式计算斜率(泰勒级数而参照《数学笔记31——幂级数及泰勒级数》):

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示例

示例1

  两长直线L1和L2是否相交,如果相交,其交点是呀?

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  可以就此往的知识以参数方程转换为普通方程:

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  方程组有唯一破,x = 1, y =
2,两长长的直线相交于(1, 2)

  也得一直用参数方程求解。如果个别漫长直线相交,参数方程组有唯一排:

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  将解代入参数方程:

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  两条直线相交于(1, 2)

示例2

  直线L经过P(0, -1, 1)和Q(2, 3,
3)两接触,直线与平面2x + y – z = 1的涉嫌?

  设直线方程是L(x(t), y(t),
z(t)),则:

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  将L的参数方程代入平面方程:

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  t有唯一排,指向与平面相交。将t代入直线的参数方程,交点是(1,
1, 2)

 


  作者:我是8位的

  出处:http://www.cnblogs.com/bigmonkey

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