数学笔记7

   曲线构图的目的是依据f’(x)和f’’
(x)画出原函数f(x)的图像。

  原函数:f(x) = 3x-x3

  f’(x) = 3-3x2

  f’’(x) = -6x

函数的凹凸性

  前提是:设f(x)在[a,b]上接连,在(a,b)内享有一阶和二阶导数。

  若是函数f’(x) >
0,则f(x)在(a,b)内是俯10皆是的;假如f’(x) <
0,则f(x)在(a,b)内是递减的。这很好明白,f’(x)是f(x)在x点切线的斜率,只有函数递增时,切线的斜率才能大于0。

  要是f’’(x) >
0,则f’递增;借使f’’(x) <
0,则f’递减。这一定于上一条结论的恢弘,因为f’’是f’的导函数。

  凹凸性:

  (一)若在(a,b)内f’’(x) <
0,则f(x)在(a,b)上的图样是凹的,f’递减,即f的切线斜率递减;

  (2)若在(a,b)内f’’(x) >
0,则f(x)在(a,b)上的图形是凸的,f’递增,即f的切线斜率递增。

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  上图中y=ex的二阶导数y’’=ex
>
0,y=ex是凸的;y=lnx的二阶导数y’’=-1/x2<0,y=lnx是凹的。

  奇怪的是,国内外的读本对凸凹的概念是区别的。同济的课本中,f’’大于0,函数为凹,f’’小于0,函数为凸,跟上边的定义正好相反。在局部微积分教材中,有将凸称为上凸,凹成为下凸;还有反着叫的……越来越乱了。

极值点和驻点

  原函数f(x) = 3x-x3

  f’(x) = 3 – 3x2 =
3(1-x2)

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  因而能够画出f(x)的简图:

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  (-一, -二)和(一,
二)是四个主要的点,经过那多个点后,f’的号子改变,f的比比皆是递减发生变化,在那七个点上,f’(x)=0,那四个点称为函数的极值点。要求小心的是,极值点不是最值点,仅仅决定了导数的标志改变。

  当f’(x0) =
0时,称x0驻点,f(x0)为驻点值。原函数f(x)=3x-x3有±1多少个驻点,对应的驻点值为±2。明显,极值点一定是驻点,但驻点不自然是极值点,因为驻点两侧的导数符号大概同样。如下图所示,y=x3的驻点x0=0,驻点两侧的导数符号相同,函数的增减性未爆发变化:

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拐点

  此时,我们已经取得原函数f(x)=三x-x3的多个极值点(一,贰)(-壹,-二),再将x=0代入,获得第几个点(0,0)。

  由于极值点分明了函数增减的改动,又知道f(x)=三x-x3是一个曲线,所以通过极值点的必然是一段弧线,f(x)的简图:

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  因而可见f’’(x0)=0是原曲线的坑坑洼洼分界点,称x0为f(x)的拐点

  有了拐点消息后就能够清楚曲线凹凸性,即切线的变化率。

极致远端

  还有壹些不可能在有限的贰维平面内展现,正是曲线的极致远端,但那并不要紧碍我们对其探索。

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  因而可知曲线的两端向±∞方向最佳延长。

  能够依照上述消息构图:

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双曲函数构图

  上面是怎么对双曲线f(x) = (x+1)/(x+二)构图。

  双曲线函数有点性情了,在x=-2处未有定义,所以该函数是在x=-二处断开的。能够获得下边多个极端:

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  依照地点的终端可规定曲线的几个端点,它们都以最佳远端,能够画出如下草图:

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  有点丑陋了,那不是自己画的最完美的图。

  接下去补充中间缺点和失误的某些,如何规定中间是坦荡的?会不会产出波浪形?这么些音信要求由驻点明显。

  f’(x)=1/(x+2)2, x≠-2

  由于f’(x) >
0,全部f(x)在-二的两侧都以俯十皆是的;由于f’(x)
≠0,所以f’(x)未有驻点,函数在-二的两侧的增减性不会生出变动。

  f’’(x) = -2/(x+2)3,
x≠-2

  f’’(x) > 0,  -∞ < x < -二,
函数是凸的

  f’’(x) < 0,  -二 < x < +∞,
函数是凹的

www.27111.com,  f’’(x) ≠ 0, 函数未有拐点

  二阶导数鲜明了曲线的弧度方向。

  至此能够构图:

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构图的形似步骤

  构图的壹般步骤:

  1. 描点,找出函数中奇点,即函数未定义的点
  2. 标明Infiniti远端
  3. 标明驻点,即f’(x)=0的点;判断f’(x)在各样驻点或不一而再点为端点的区间内的号子,因而判断函数的递增和递减性
  4. 着眼二阶导数f’’的正负性,以便判断f(x)的凹凸不平,f’’(x)=0是拐点
  5. 组合1~4构图

示例

  f(x) = x/lnx

  依照上节的手续构图。

  1.找出奇点

  当x=1是,lnx=0,f(x)无意义,奇点是x=壹;由于选拔了对数lnx,隐含的规范是x>0,所以能够取得上边七个顶峰:

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  其它,还足以知道f(0) = 0

  贰.标注无限远端

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  由于x的定义域是(0,
+∞)且x≠一,所以x只好从正向趋近于0;由于lnx是x的高阶无穷小,所以首个顶峰是+∞。近年来的草图:

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  大约能够判断剩余的某个的样板。

  3.找出驻点,判断函数的递增和递减

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  f’(x) = 0,则x=e,f(e) = e/lne =
e,仅有二个驻点

  f’(x) < 0,  0 < x<一, 一< x
< e,函数递减;

  f’(x) > 0,  e <
x,函数递增

  代入一些不难值作为修饰后就足以作图了,可以省略求二阶导数,图像不会差太多。本例还是持续总结二阶导数。

  肆.观测二阶导数f’’的正负性,以便判断f(x)的凹凸不平

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  f’’(x) < 0, 0 < x <1,
函数是凹的

  f’’(x) > 0, 1 < x <
e2, 函数是凸的

  f’’(x) < 0, e2 < x,
函数是凹的

  f’’(x) = 0, x = e2,
拐点是e2

  至此,能够构图了:

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构图结果

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诚实图像

总结

  1. 若在(a,b)内f’’(x) <
    0,则f(x)在(a,b)上的图片是凹的,f’递减
  2. 若在(a,b)内f’’(x) >
    0,则f(x)在(a,b)上的图纸是凸的,f’递增
  3. 极值点,经过极值点后f’(x)的记号改变
  4. 驻点f’(x0)=0,x0是驻点,f(x0)是驻点值
  5. 拐点,经过拐点后,函数的凹凸性发生改变
  6. 动用构图的貌似步骤为双曲线构图

 


 

  作者:我是8位的

  出处:http://www.cnblogs.com/bigmonkey

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