直线和曲线的参数方程

什么样是参数方程

  一般地,在平面直角坐标系中,假如曲线上恣意一点的坐标x、y都是某些变数t的函数:

 图片 1

  并且对于t的每贰个同意的取值,由方程组鲜明的点(x,
y)都在那条曲线上,那么这些方程就叫做曲线的参数方程,联系变数x、y的变数t叫做参变数,简称参数。相对而言,直接交给点坐标间事关的方程叫普通方程。

  例如在运动学,参数平常是“时间”,而方程的结果是速度、地点等。用参数方程描述运动规律时,日常比用平常方程更为直接便捷。对于化解求最大射程、最大惊人、飞行时间或轨道等一密密麻麻题材都相比非凡。某个根本但较复杂的曲线(例如摆线),建立它们的常备方程相比较不方便,甚至不容许,有了参数方程,就能够很简单表明。

直线

空间中的直线

  空间中五个平面包车型大巴名不副实是一条直线,要是抛开平面,直线可以看成是点匀速直线运动的轨道。

  通过两点鲜明一条直线,其它,已知一点和与直线平行的向量也能分明一条直线。

直线的参数方程

  3个点在空间中匀速直线运动,它在t =
0和t = 1随时经过Q0 = (-1, 2, 2)和Q1 = (1, 3,
-1)两点,Q(t)是该点关于时间t的函数:

 图片 2

  如上航海用教室所示,点在t =
0时刻的职位Q0 = Q(0) = (-1, 2, 2),t =
1时时的职责Q1 = Q(1) = (1, 3,
-1),那么在任意t时刻,Q的任务Q(t)是哪个地方?

图片 3

  今后将标题转换为向量:

图片 4 

  由于是匀速运动,所以运动距离与时光成正比:

图片 5

  随着岁月的增高,向量也将增加。由于Q(t)是空中内的点,所以:

图片 6

  那就是该直线的参数方程,其来源是Q0Q(t)
= tQ0Q1

  假如t = 2,则在该时刻Q(2) = (3, 5,
-4)

直线与平面包车型客车涉及

  上边的五个点Q0 = (-1, 2,
2)和Q1 = (1, 3, -1)对于平面x + 2y + 4z =
7来说,地方关系是什么?在平面包车型地铁两侧仍旧一侧?是或不是在平面上?

  将Q0和Q1代入平面方程:

图片 7

  可想而知Q0和Q1不在平面上,它们分属于平面两侧,向量Q0Q1将通过平面,与平面有唯一的交点,那一个交点又是什么?

  上节已经求得了直线的参数方程Q(t) =
(2t-1, t+2, -3t+2),直线与平面的交点将满意:

图片 8

  将直线参数方程代入平面方程也说不定出现有不少解或无解的情景,此时直线与平面没有唯一交点,直线也许在平面上或与平面平行。

  计算一下,把直线方程Q(t) = (x(t),
y(t), z(t))代入平面方程ax + by + c =
d,假若能总括出t的绝无仅有值,直线穿过平面;假如获得三个等于d的常数,则直线在平面上;假诺获得3个不等于d的常数,则直线与平面平行。

曲线

  对于平面或空中内的任意运动,同样能够用参数方程表示。

摆线的参数方程

  摆线是一种出名的曲线,它描述了当车辆匀速直线运动时,车轮上点的位移轨迹。如下图所示,P是半径为a的轮子边缘上的有些,刚初步时在原点,当轮子向右滚动后,P点将跟着转动:

图片 9

  我们关怀的题材是轮子滚动后P的轨道,也等于t时刻P点的职位。借使P点是岗位关于时间的函数,用参数方程可以表示为Q(t)
= (x(t),
y(t))。那表示从岁月的角度来代表地方,不过时间毫无最好的参变量,因为P的轨迹是与时光非亲非故的,即使车速变快,P的移位轨迹也不会变动。大家注意到,当轮子匀速运动时,P的角度和岁月成正比: 

图片 10

  ∠θ和活动时间成正比,假如θ当先2π,则约等于起头了一个新的周期,对于角度的演算,3π和π是平等的。由此,能够将时间替换为角度,也等于使用车轮转动角度做参变量将赢得更简便的答案:

图片 11

图片 12

  将车轮转换为上海教室所示的向量(向量可参照《线性代数笔记2——向量(向量简介)》),则向量OP的参数方程就足以表示P点的移位轨迹。

 图片 13

  由于车轮是本着地面转动,且最初P的岗位与O相同,所以在第③圈时,OA
= PA的弧长(作者承认在画画时相比较随意,看起来它们并不对等):

 图片 14

  实际上,无论第几圈,上式都建立。由于已经掌握了OA和AB的长短,能够汲取相应的向量:

 图片 15

  未来只需供给出向量BP即可。那里并不必要知道点B和点P的坐标,由于向量只描述了大大小小和趋势,所以向量和具体地方毫不相关,由此能够经过将向量BP挪动求得BP

 图片 16

图片 17

  最终:

图片 18

图片 19

摆线的斜率

  在轱辘滚动一圈后,点P回到x轴,开端进入下二个周期,七个周期相交于少数。有二个值得关心的标题是,假如在该点处作轨迹曲线的切线,切线的斜率是怎样?如下图所示,就是总结P5处轨迹曲线的切线:

图片 20

  为了简化难点,将当轮子看作单位圆,此时a =
1,

 图片 21

  在P5处,θ=2π,斜率:

 图片 22

  此时不曾意义,但可以总结极限:

 图片 23

  因此,在P5处,斜率趋近于∞,也便是有一条垂直于x轴的切线。

  也得以利用Taylor展开式总结斜率(Taylor级数可参考《数学笔记31——幂级数和Taylor级数》):

图片 24

示例

示例1

  两条直线L1和L2是或不是相交,假如相交,其交点是什么?

图片 25

  能够用过去的文化将参数方程转换为常见方程:

 图片 26

  方程组有唯一解,x = 1, y =
2,两条直线相交于(1, 2)

  也足以一向用参数方程求解。要是两条直线相交,参数方程组有唯一解:

 图片 27

  将解代入参数方程:

图片 28

  两条直线相交于(1, 2)

示例2

  直线L经过P(0, -1, 1)和Q(2, 3,
3)两点,直线与平面2x + y – z = 1的涉嫌?

  设直线方程是L(x(t), y(t),
z(t)),则:

图片 29

  将L的参数方程代入平面方程:

 图片 30

  t有唯一解,指向与平交。将t代入直线的参数方程,交点是(1,
1, 2)

 


  作者:我是8位的

  出处:http://www.cnblogs.com/bigmonkey

  本文以学习、研究和享受为主,如需转发,请联系自个儿,标明笔者和出处,非商业用途! 

 

发表评论

电子邮件地址不会被公开。 必填项已用*标注