弧长和曲面面积

  积分的定义来源于实际使用。对一个函数积分能够清楚为求曲线下的面积,但积分的作用不仅仅如此。作为Newton毕生最伟大的声明,有了积分,我们就足以去计算曲线的弧长,能够去求区域的面积,也得以去计算很多大体难题。

弧长

弧长的定义

  曲线上两点之间的曲线长度称为弧长,今后我们试图用积分定义弧长。

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  将上海体育场地的曲线分为n段,用直线连接相邻的两点,当Δx→0时,两点间的线条长度趋近于弧长:

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  将s定义为弧长,则:

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  用微分表示上式,能够去掉约等号:

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  习惯上,上式去掉括号:

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  其余二种常见的变形:

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  由此获得a、b两点间弧长的表明式:

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线性函数的弧长

  倘诺有曲线y = mx,则y’ = m,
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10处的弧长:

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  如上海教室所示,可以舍弃积分直接总结两点间的弧长,其结果和积分运算相等。对于那么些例子来说,结果是由此可见的,然而其表明的含义是:假设大家能对线性函数推导出那么些公式,那么微积分也能告诉我们应该如何是好。微积分的构思就存在于那个简单的,甚至不要求微积分总计的经过中。全数这么些工具,微分、积分、极限,能够答应其余曲线,因为大家将曲线分割成了极致小,那正是起家积分的驰念。

单位圆的弧长

  总结下图单位圆上的弧长s:

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  单位圆中:

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  遵照弧长公式:

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  接下去正是求解积分的题材。

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  也得以写成:a = sins

  在单位圆中,弧长s = 弧长夹角θ,a =
rsinθ = sinθ,上边的盘算结果与定义相同。

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抛物线的弧 

  求曲线y = x2在x∈[0,
a]上的弧长。

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  接下去是求解积分难题,令x =
tanθ/2 

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  令u = secθ, v’ = sec2θ, v
= tanθ,  u’ = secθtanθ

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  最后弧长:

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曲面面积

求解方法

  曲线y =
x2绕x轴旋转二三十日,求在x在[0,
a]上,立体图形的外表面积。

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  图形类似于喇叭口,可以行使圆盘法求解,只是将dx换到ds,上海体育场地中圆盘的表面积:

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  总面积:

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  这些复杂的积分仍旧交给计算机吧。

球面面积

  能够将球看作为半径为a的半圆y2 +
x2 =
a2绕x轴旋转十3日形成的图纸,总计x在[x1,
x2]处形成圆盘的球面面积:

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  整个球体的表面积:

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  结果与球体表面积公式一样。

归结示范

示例1

  计算y = x3/2在0www.27111.com, ≤ x
≤ 4处的弧长。

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y = x3/2

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示例2

  如下图所示,求圆心为帕杰罗,半径为r的圆绕y轴转动二十日形成的环的表面积

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  由于是绕y轴转动,表面积的微分是da =
2πxds,接下去正是何许求解ds和da的积分。

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  上半圆的表面积:

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  又是求解积分的难题了,令u = x –
Escort

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  令u = rsint,du =
rcostdt;u的取值范围是[r, -r],所以t的取值范围是[π/2, -π/2]

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  作者:我是8位的

  出处:http://www.cnblogs.com/bigmonkey

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