直线和曲线的参数方程

如何是参数方程

  一般地,在平面直角坐标系中,如若曲线上随机一点的坐标x、y都是某个变数t的函数:

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  并且对于t的每一个允许的取值,由方程组确定的点(x,
y)都在这条曲线上,那么这个方程就称为曲线的参数方程,联系变数x、y的变数t叫做参变数,简称参数。相对而言,直接付出点坐标间事关的方程叫普通方程。

  例如在运动学,参数通常是“时间”,而方程的结果是速度、地点等。用参数方程描述运动规律时,平时比用一般方程更为直接便捷。对于缓解求最大射程、最大惊人、飞行时间或轨道等一雨后春笋问题都相比不错。有些首要但较复杂的曲线(例如摆线),建立它们的常见方程相比艰难,甚至不可以,有了参数方程,就可以很容易表明。

直线

空中中的直线

  空间中五个平面的交集是一条直线,假使抛开平面,直线可以作为是点匀速直线运动的轨迹。

  通过两点确定一条直线,另外,已知一点和与直线平行的向量也能确定一条直线。

直线的参数方程

  一个点在空中中匀速直线运动,它在t =
0和t = 1时时经过Q0 = (-1, 2, 2)和Q1 = (1, 3,
-1)两点,Q(t)是该点关于时间t的函数:

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  如上图所示,点在t =
0时刻的地点Q0 = Q(0) = (-1, 2, 2),t =
1时刻的职位Q1 = Q(1) = (1, 3,
-1),那么在任意t时刻,Q的职务Q(t)是哪个地方?

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  现在将问题转换为向量:

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  由于是匀速运动,所以运动距离与时间成正比:

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  随着年华的增进,向量也将加强。由于Q(t)是空中内的点,所以:

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  这就是该直线的参数方程,其来源于是Q0Q(t)
= tQ0Q1

  如果t = 2,则在该时刻Q(2) = (3, 5,
-4)

直线与平面的涉嫌

  上边的多少个点Q0 = (-1, 2,
2)和Q1 = (1, 3, -1)对于平面x + 2y + 4z =
7来说,地方关系是如何?在平面的两侧仍旧一侧?是否在平面上?

  将Q0和Q1代入平面方程:

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  不问可知Q0和Q1不在平面上,它们分属于平面两侧,向量Q0Q1将通过平面,与平面有唯一的交点,这些交点又是什么?

  上节已经求得了直线的参数方程Q(t) =
(2t-1, t+2, -3t+2),直线与平面的交点将满意:

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  将直线参数方程代入平面方程也恐怕出现有众多解或无解的气象,此时直线与平面没有唯一交点,直线可能在平面上或与平面平行。

  统计一下,把直线方程Q(t) = (x(t),
y(t), z(t))代入平面方程ax + by + c =
d,要是能推测出t的绝无仅有值,直线穿过平面;如若得到一个等于d的常数,则直线在平面上;如若拿到一个不等于d的常数,则直线与平面平行。

曲线

  对于平面或空中内的即兴运动,同样可以用参数方程表示。

摆线的参数方程

  摆线是一种有名的曲线,它讲述了当车辆匀速直线运动时,车轮上点的位移轨迹。如下图所示,P是半径为a的车轱辘边缘上的一些,刚起始时在原点,当轮子向右滚动后,P点将随着转动:

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  我们关注的题材是车轮滚动后P的轨迹,也就是t时刻P点的岗位。假若P点是岗位关于时间的函数,用参数方程可以象征为Q(t)
= (x(t),
y(t))。这意味着从岁月的角度来表示地方,但是时光不要最好的参变量,因为P的轨迹是与时间无关的,尽管车速变快,P的位移轨迹也不会改变。我们注意到,当轮子匀速运动时,P的角度和岁月成正比: 

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  ∠θ和移动时间成正比,假如θ超越2π,则相当于起始了一个新的周期,对于角度的演算,3π和π是相同的。因而,可以将时间替换为角度,也就是行使车轮转动角度做参变量将拿到更简短的答案:

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  将车轮转换为上图所示的向量(向量可参照《线性代数笔记2——向量(向量简介)》),则向量OP的参数方程就足以代表P点的移位轨迹。

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  由于车轮是本着地面转动,且最初P的职位与O相同,所以在第一圈时,OA
= PA的弧长(我认同在画图时相比随便,看起来它们并不等于):

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  实际上,无论第几圈,上式都创立。由于已经知晓了OA和AB的长度,能够得出相应的向量:

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  现在只需要求出向量BP即可。那里并不需要知道点B和点P的坐标,由于向量只描述了尺寸和方向,所以向量和具体地方无关,由此可以通过将向量BP举手投足求得BP

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  最终:

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摆线的斜率

  在轱辘滚动一圈后,点P回到x轴,起初进入下一个周期,四个周期相交于一些。有一个值得关注的问题是,倘使在该点处作轨迹曲线的切线,切线的斜率是哪些?如下图所示,就是总结P5处轨迹曲线的切线:

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  为了简化问题,将当轮子看作单位圆,此时a =
1,

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  在P5处,θ=2π,斜率:

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  此时并未意思,但可以总计极限:

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  因此,在P5处,斜率趋近于∞,也就是有一条垂直于x轴的切线。

  也可以拔取Taylor展开式总括斜率(Taylor级数可参照《数学笔记31——幂级数和泰勒(Taylor)级数》):

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示例

示例1

  两条直线L1和L2是否相交,即便相交,其交点是咋样?

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  可以用过去的学识将参数方程转换为常见方程:

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  方程组有唯一解,x = 1, y =
2,两条直线相交于(1, 2)

  也可以一直用参数方程求解。尽管两条直线相交,参数方程组有唯一解:

 图片 27

  将解代入参数方程:

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  两条直线相交于(1, 2)

示例2

  直线L经过P(0, -1, 1)和Q(2, 3,
3)两点,直线与平面2x + y – z = 1的涉嫌?

  设直线方程是L(x(t), y(t),
z(t)),则:

图片 29

  将L的参数方程代入平面方程:

 图片 30

  t有唯一解,指向与平面相交。将t代入直线的参数方程,交点是(1,
1, 2)

 


  作者:我是8位的

  出处:http://www.cnblogs.com/bigmonkey

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